Twitter / つくし: 【急募】問題「 n(5+n^2)が6の倍数であること ...

ツイッターで以下のような呟きがありました。

【急募】問題「　n(5+n^2)が6の倍数であることを証明せよ。　」が解ける人

呟きには書いてませんがnが正の整数のときにn×(5+n×n)が6の倍数になることを証明せよと言うことでしょう。
というわけで挑戦してみました。

まずnが1のときは式全体の答えは6で6の倍数です。

次に式を変形します。
n×(5+n×n)
=n×(6+n×n-1)
=n×(6+(n-1)×(n+1))
=6×n+(n-1)×n×(n+1)
6×nは6の倍数であることは自明のことです。
nが2以上のとき(n-1)、n、(n+1)は三つ連続した正の整数になります。
三つの連続した正の整数には一つもしくは二つの2の倍数が含まれます。
三つの連続した正の整数には一つの3の倍数が含まれます。
2の倍数と3の倍数をかけるたものは6の倍数になります。
以上のことから(n-1)×n×(n+1)は6の倍数です。
6の倍数と6の倍数を足したものも6の倍数になるので6×n+(n-1)×n×(n+1)は6の倍数です。

よってn×(5+n×n)は6の倍数になります。